FÍSICA GRACELI TENSORIAL QUÂNTICA.

equação Graceli  quântica []  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

 

equação Graceli  tensorial quântica [1]   [DR] =            .=  =

 = tensor energia momentum

 = tensor quântico de Graceli.

/

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

 

    G  [DR] =             =

 G  [DR] =          =

EQUAÇÃO QUÂNTICA TENSORIAL GRACELI.

  G  [DR] =            .= 

G  [DR]  = É O TENSOR   GRACELI TENSÃO ENERGIA DE FLUXOS DE DILATAÇÕES E RETRAÇÕES COM CURVATURAS E SIMÉTRICO .

G  [DR]  = É O TENSOR   GRACELI TENSÃO ENERGIA DE FLUXOS DE DILATAÇÕES E RETRAÇÕES COM CURVATURAS E SIMÉTRICO .

     G  [DR] =             =

 G  [DR] =         =

G  [DR]  = É O TENSOR   GRACELI TENSÃO ENERGIA DE FLUXOS DE DILATAÇÕES E RETRAÇÕES COM CURVATURAS E SIMÉTRICO .

G  [DR]  = É O TENSOR   GRACELI TENSÃO ENERGIA DE FLUXOS DE DILATAÇÕES E RETRAÇÕES COM CURVATURAS E SIMÉTRICO .

    ] ω  , ,   =

A ação de Einstein–Hilbert ou ação de Hilbert na relatividade geral é uma ação que torna eficiente as equações de campo de Einstein através do princípio da mínima ação. Segundo a convenção de sinal da teoria da relatividade, esta ação pode ser escrita como:^[1]

${\displaystyle �=-\frac{1}{2�}\int �\sqrt{-�}{�}^4�,}$

/

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

onde ${\displaystyle �}$ é o determinante do tensor métrico, ${\displaystyle �}$ é o escalar de curvatura de Ricci, e ${\displaystyle �=8��{�}^{-4}}$, onde ${\displaystyle �}$ é a constante gravitacional de Newton e ${\displaystyle �}$ é a constante da velocidade da luz no vácuo. A integral é dada sobre o espaço-tempo.

Esta ação foi inicialmente proposta por David Hilbert em 1915.

Definição

A derivação de equações a partir de uma ação possui várias vantagens. Primeiro ele possibilita uma fácil unificação da teoria da relatividade geral com outras teorias de campo clássicas (como por exemplo a equações de Maxwell, que é também formulada em termos de ação. Neste processo a derivação de uma ação identifica um candidato natural para o acoplamento do termo fonte da métrica de campos. Segundo, a ação possibilita uma fácil identificação da energia conservada através teorema de Noether pelo estudo simétrico da ação.

Na relatividade geral, a ação é normalmente definida como uma função de campo e a conexão é dada pela conexão de Levi-Civita. O formalismo de Cartan da relatividade geral define a métrica e a conexão como sendo independentes, o que torna possível de se incluir campos de matéria fermiônica com spin não inteiros.

Derivação das equação de campo de Einstein

Suponha que toda ação da teoria seja dada pelo termo de Einstein-Hilbert mais um termo ${\displaystyle {\mathcal{�}}_{\mathrm{M}}}$ que descreva qualquer campo de matéria que apareça na teoria.

${\displaystyle �=\int \left[\frac{1}{2�}�+{\mathcal{�}}_{\mathrm{M}}\right]\sqrt{-�}{\mathrm{d}}^4�}$

/

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

O princípio de Hamilton então indica que a variação destas ações com respeito à métrica inversa é zero, ou seja

/

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Já que estas equação devem obedecer qualquer variação ${\displaystyle �{�}^{��}}$, isto implica que

${\displaystyle \frac{��}{�{�}^{��}}+\frac{�}{\sqrt{-�}}\frac{�\sqrt{-�}}{�{�}^{��}}=-2�\frac{1}{\sqrt{-�}}\frac{�(\sqrt{-�}{\mathcal{�}}_{\mathrm{M}})}{�{�}^{��}},}$

/

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

é a equação de movimento para o campo métrico. O lado direito desta equação é, por definição, proporcional ao tensor de energia-momento,

${\displaystyle {�}_{��}:=\frac{-2}{\sqrt{-�}}\frac{�(\sqrt{-�}{\mathcal{�}}_{\mathrm{M}})}{�{�}^{��}}=-2\frac{�{\mathcal{�}}_{\mathrm{M}}}{�{�}^{��}}+{�}_{��}{\mathcal{�}}_{\mathrm{M}}.}$

/

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Variações do tensor de curvatura, do tensor de Ricci e do escalar de Ricci

Para calcular as variações do escalar de Ricci calcula-se primeiro a variação do tensor de curvatura e a variação do tensor de Ricci. O tensor de curvatura é definido como

${\displaystyle {{�}^{�}}_{���}={\mathrm{\partial }}_{�}{\mathrm{\Gamma }}_{��}^{�}-{\mathrm{\partial }}_{�}{\mathrm{\Gamma }}_{��}^{�}+{\mathrm{\Gamma }}_{��}^{�}{\mathrm{\Gamma }}_{��}^{�}-{\mathrm{\Gamma }}_{��}^{�}{\mathrm{\Gamma }}_{��}^{�},}$

/

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Já que o tensor de curvatura depende apenas da conexão de Levi-Civita ${\displaystyle {\mathrm{\Gamma }}_{��}^{�}}$, a variação do tensor de curvatura pode ser calculado como,

${\displaystyle �{{�}^{�}}_{���}={\mathrm{\partial }}_{�}�{\mathrm{\Gamma }}_{��}^{�}-{\mathrm{\partial }}_{�}�{\mathrm{\Gamma }}_{��}^{�}+�{\mathrm{\Gamma }}_{��}^{�}{\mathrm{\Gamma }}_{��}^{�}+{\mathrm{\Gamma }}_{��}^{�}�{\mathrm{\Gamma }}_{��}^{�}-�{\mathrm{\Gamma }}_{��}^{�}{\mathrm{\Gamma }}_{��}^{�}-{\mathrm{\Gamma }}_{��}^{�}�{\mathrm{\Gamma }}_{��}^{�}.}$

/

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Agora temos ${\displaystyle �{\mathrm{\Gamma }}_{��}^{�}}$ que é a diferença de duas conexões, isto é um tensor e pode-se calcular isto como derivadas convariantes,

${\displaystyle {\mathrm{\nabla }}_{�}(�{\mathrm{\Gamma }}_{��}^{�})={\mathrm{\partial }}_{�}(�{\mathrm{\Gamma }}_{��}^{�})+{\mathrm{\Gamma }}_{��}^{�}�{\mathrm{\Gamma }}_{��}^{�}-{\mathrm{\Gamma }}_{��}^{�}�{\mathrm{\Gamma }}_{��}^{�}-{\mathrm{\Gamma }}_{��}^{�}�{\mathrm{\Gamma }}_{��}^{�}}$

/

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Observa-se agora que a expressão da variação do tensor de curvatura acima é igual à diferença de ambos os termos,

${\displaystyle �{�}^{�}{}_{���}={\mathrm{\nabla }}_{�}(�{\mathrm{\Gamma }}_{��}^{�})-{\mathrm{\nabla }}_{�}(�{\mathrm{\Gamma }}_{��}^{�}).}$

/

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Agora pode-se obter a variação do tensor de curvatura de Ricci simplesmente pela contração dos dois índices da variação do tensor de curvatura,

${\displaystyle �{�}_{��}\equiv �{�}^{�}{}_{���}={\mathrm{\nabla }}_{�}(�{\mathrm{\Gamma }}_{��}^{�})-{\mathrm{\nabla }}_{�}(�{\mathrm{\Gamma }}_{��}^{�}).}$

/

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

O escalar de Ricci é definido como

${\displaystyle �={�}^{��}{�}_{��}.}$

/

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Logo sua variação com respeito a métrica inversa ${\displaystyle {�}^{��}}$ é obtida por

/

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Na segunda linha utilizou-se o último resultado obtido para a variação de curvatura de Ricci e a compatibilidade métrica do convariante derivativo, ${\displaystyle {\mathrm{\nabla }}_{�}{�}^{��}=0}$.

O último termo ${\displaystyle {\mathrm{\nabla }}_{�}({�}^{��}�{\mathrm{\Gamma }}_{��}^{�}-{�}^{��}�{\mathrm{\Gamma }}_{��}^{�})}$ é uma derivada total e pelo teorema de Stokes obtem-se,

${\displaystyle \frac{��}{�{�}^{��}}={�}_{��}.}$

/

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Variação do determinante

A formula de Jacobi para diferenciação entre determinantes, nos dá:

${\displaystyle ��=�{�}^{��}�{�}_{��}}$

/

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

ou pode-se transformar num sistema de coordenadas, onde ${\displaystyle {�}_{��}}$ é diagonal e então aplica-se o produto para se diferenciar os fatores da diagonal principal.

Então obtém-se

/

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

e conclui-se que

${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{-�}}\frac{�\sqrt{-�}}{�{�}^{��}}=-\frac{1}{2}{�}_{��}.}$

/

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Equação de movimento

Após se calcular todas as variações acima, pode-se inferir delas a equação de movimento para campos métricos para, obtendo-se,

${\displaystyle {�}_{��}-\frac{1}{2}{�}_{��}�=\frac{8��}{{�}^4}{�}_{��},}$

/

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

que é a equação de campo de Einstein e

${\displaystyle �=\frac{8��}{{�}^4}}$

/

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

foi escolhida porque para limites não relativísticos ela respeita a lei da gravitação universal, onde G é a constante gravitacional.

Constante cosmológica

Algumas vezes, uma constante cosmológica A é incluída na função de Lagrange então para a nova ação

${\displaystyle �=\int \left[\frac{1}{2�}\left(�-2\mathrm{\Lambda }\right)+{\mathcal{�}}_{\mathrm{M}}\right]\sqrt{-�}{\mathrm{d}}^4�}$

/

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

onde a equação de campo

${\displaystyle {�}_{��}-\frac{1}{2}{�}_{��}�+\mathrm{\Lambda }{�}_{��}=\frac{8��}{{�}^4}{�}_{��}.}$

/

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

As equações de campos da teoria Brans/Dicke são

${\displaystyle ◻�=\frac{8�}{3+2�}�}$

/

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

${\displaystyle {�}_{��}=\frac{8�}{�}{�}_{��}+\frac{�}{{�}^2}({\mathrm{\partial }}_{�}�{\mathrm{\partial }}_{�}�-\frac{1}{2}{�}_{��}{\mathrm{\partial }}_{�}�{\mathrm{\partial }}^{�}�)+\frac{1}{�}({\mathrm{\nabla }}_{�}{\mathrm{\nabla }}_{�}�-{�}_{��}◻�)}$

/

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Onde

• ${\displaystyle {�}_{��}}$ é o tensor métrico,
• ${\displaystyle {�}_{��}={�}_{��}-\frac{1}{2}�{�}_{��}}$ é o tensor de Einstein, um tipo de curvatura média,
• ${\displaystyle {�}_{��}={{�}^{�}}_{���}}$ é o tensor de Ricci, um tipo de traço do tensor de curvatura,
• ${\displaystyle �={{�}^{�}}_{�}}$ é o escalar de Ricci, o traço do tensor de Ricci,
• ${\displaystyle {�}_{��}}$ é o tensor de energia-impulso,
• ${\displaystyle �}$ é o traço de ${\displaystyle {�}_{��}}$,
• ${\displaystyle �}$ é o campo escalar,
• ${\displaystyle ◻}$ é o operador de Laplace-Beltrami ou operador covariante de onda, ${\displaystyle ◻�={�}_{;�}^{;�}}$

O princípio de ação

O seguinte Lagrangiano contém a completa descrição da teoria Brans/Dicke:

${\displaystyle �=\frac{1}{16�}\int {�}^4�\sqrt{-�}\left(��-�\frac{{\mathrm{\partial }}_{�}�{\mathrm{\partial }}^{�}�}{�}+{\mathcal{�}}_{\mathrm{M}}\right)}$

/

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

onde

• ${\displaystyle �}$ é o determinante da métrica,
• ${\displaystyle \sqrt{-�}{�}^4�}$ é o tetra-dimensional forma volume,
• ${\displaystyle {\mathcal{�}}_{\mathrm{M}}}$ é o termo da matéria ou Lagrangiano da matéria.

Numa teoria quântica de campos, a regularização de divergências e a renormalização são geralmente vistas apenas como técnicas para tornar funções de correlações finitas. Contudo, elas possuem um significado físico muito profundo e mais importante: a descrição de teorias quânticas de campos mudam conforme a escala de energia. Essa ideia foi introduzida por Kenneth Wilson^[1] e é quantificada pelas equações do grupo de renormalização.

Grupo de renormalização no espaço de momentos

Suponha uma teoria quântica de campos com campos ${\displaystyle �(�)}$ e constantes de acoplamento ${\displaystyle �}$ descrita pela ação clássica ${\displaystyle �(�,�)}$. Vamos considerar a expansão em modos de Fourier de ${\displaystyle �(�)}$

${\displaystyle �(�)=\int ��{�}^{���}\widehat{�}(�)}$

/

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Usualmente, a integral é sobre todas as frequências ${\displaystyle 0\le |�|\le \mathrm{\infty }}$. Neste caso, várias funções de correlação podem não ser bem definidas. Uma forma de regularizar a teoria é introduzir uma frequência de corte ultravioleta ${\displaystyle {\mathrm{\Lambda }}_{��}}$. Isto é, limitamos a integral ao disco

${\displaystyle |�|\le {\mathrm{\Lambda }}_{��}}$

Chamaremos esse campos de ${\displaystyle {�}_0(�)}$ e diremos que ele é o campo na escala ${\displaystyle {\mathrm{\Lambda }}_{��}}$. Então

${\displaystyle {�}_0(�)={\int }_{0\le |�|\le {\mathrm{\Lambda }}_{��}}��{�}^{���}\widehat{�}(�)}$

/

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Também chamaremos a constante de acoplamento de ${\displaystyle {�}_0}$. A função partição sobre os campos ${\displaystyle {�}_0(�)}$ é

${\displaystyle �=\int \mathcal{�}{�}_0{�}^{-�({�}_0,{�}_0)}}$

/

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Já que alguns dos modos de Fourier estão faltando, o campo ${\displaystyle {�}_0(�)}$ é praticamente constante em distâncias menores que ${\displaystyle \mathrm{\Delta }�\simeq 1/{\mathrm{\Lambda }}_{��}}$. Então, introduzir uma frequência de corte ultravioleta é o mesmo que introduzir um corte em pequenas distâncias. É óbvio que a introdução desse limite quebra a simetria de Poincaré. Eventualmente, vamos tomar o limite do contínuo ${\displaystyle 1/{\mathrm{\Lambda }}_{��}\to 0}$, onde a simetria de Poincaré é recuperada. A questão de renormalizabilidade é se podemos fazer isso mantendo as quantidades físicas numa escala de energia finita ${\displaystyle �}$ regulares.^[2]

Vamos decompor a região de integração da expansão em modos em duas partes:

${\displaystyle 0\le |�|\le �}$ e ${\displaystyle �\le |�|\le {\mathrm{\Lambda }}_{��}}$

/

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Chamaremos as expansões em modos correspondentes por

${\displaystyle {�}_{�}(�)={\int }_{0\le |�|\le �}��{�}^{���}\widehat{�}(�)}$

/

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

${\displaystyle {�}_{�}(�)={\int }_{�\le |�|\le {\mathrm{\Lambda }}_{��}}��{�}^{���}\widehat{�}(�)}$

/

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

onde B e A referem-se a Baixas e Altas energias. Nós gostaríamos de estudar o comportamento da teoria em energias menores que ${\displaystyle �}$, por exemplo, amplitudes de espalhamento de partículas com momentos ${\displaystyle \le �}$. O que procuramos então é uma ação que descreva esses efeitos somente em termos de ${\displaystyle {�}_{�}(�)}$. Ela pode ser obtida integrando sobre ${\displaystyle {�}_{�}(�)}$ na integral de trajetória, mantendo ${\displaystyle {�}_{�}(�)}$ variável

${\displaystyle {�}^{-{�}_{���}({�}_{�},{�}_0)}=\int \mathcal{�}{�}_{�}{�}^{-�({�}_{�}+{�}_{�},{�}_0)}}$

/

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Isso é chamado teoria de campos efetiva na energia ${\displaystyle �}$. Por vezes, quando tomamos o limite para o contínuo ${\displaystyle {\mathrm{\Lambda }}_{��}/�\to \mathrm{\infty }}$, a expressão para a ação fica divergente e isso é a indicação que precisamos mudar a descrição da teoria em baixas energias. Nos casos mais drásticos, precisamos encontrar um novo conjunto completamente novo de campos e simetrias para descrever a teoria. Contudo, em muitos casos, a mudança de variáveis e parâmetros têm a forma:

${\displaystyle {�}_0={�}_0(�,\frac{{\mathrm{\Lambda }}_{��}}{�})}$

${\displaystyle {�}_0(�)=�(�,\frac{{\mathrm{\Lambda }}_{��}}{�})�(�)+{�}_{�}(�)}$

/

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Aqui, ${\displaystyle �(�)}$ e ${\displaystyle �}$ são os novos campos, em termos dos quais a ação efetiva

${\displaystyle {�}^{-{�}_{���}(�,�,�)}=\int \mathcal{�}{�}_{�}{�}^{-�({�}_0,{�}_0)}}$

/

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

é regular no limite para o contínuo. Os campos ${\displaystyle {�}_0(�)}$ e as contantes ${\displaystyle {�}_0}$ na escala de corte ${\displaystyle {\mathrm{\Lambda }}_{��}}$ são chamados de campos nus e constantes de acoplamentos nuas, enquanto ${\displaystyle �(�)}$ e ${\displaystyle �}$ são ditas renormalizados.

Equação de Callan-Symanzik

Se pode olhar para essa mudança de campos e constantes de duas formas. Uma forma de ver é fixar ${\displaystyle �}$ e variar ${\displaystyle {\mathrm{\Lambda }}_{��}}$. Nós fixamos os campos ${\displaystyle �(�)}$ e constantes de acoplamento ${\displaystyle �}$ numa escala ${\displaystyle �}$ (com os valores medidos nessa escala) e mudamos os campos nus ${\displaystyle {�}_0(�)}$ e as contantes nuas ${\displaystyle {�}_0}$. Se pudermos mover ${\displaystyle {\mathrm{\Lambda }}_{��}}$ para o infinito sem mudar o comportamento do sistema na energia ${\displaystyle �}$ (descrito por ${\displaystyle �(�)}$ e ${\displaystyle �}$), então, nesse limite, obtemos uma teoria quântica de campos com simetria de Poincaré.

Uma outra forma de ver é mover ${\displaystyle �}$, fixando ${\displaystyle {\mathrm{\Lambda }}_{��}}$ e consequentemente ${\displaystyle {�}_0(�)}$ e ${\displaystyle {�}_0}$. Desta forma, o campo renormalizado e a constante de acoplamento renormalizada é que mudam com a escala. Essa constante é dita constante de acoplamento corredora. Em particular, se mudamos a escala de ${\displaystyle {�}_1}$ para ${\displaystyle {�}_2}$, as constantes de acoplamento mudarão de ${\displaystyle {�}_1=({�}_0,\frac{{�}_1}{{\mathrm{\Lambda }}_{��}})}$ para ${\displaystyle {�}_2=�({�}_0,\frac{{�}_2}{{\mathrm{\Lambda }}_{��}})}$, onde ${\displaystyle �({�}_0,\frac{�}{{\mathrm{\Lambda }}_{��}})}$ é a inversa da função definida anteriormente. Com efeito, definindo um campo com contribuições dos modos de Fourier entre ${\displaystyle {�}_1\le |�|\le {�}_2}$, podemos repetir o raciocínio e escrever ${\displaystyle {�}_2=�({�}_1,\frac{{�}_2}{{�}_1})}$. Desta forma, uma mudança de escala induz uma mudança das contantes de acoplamento através do campo vetorial

${\displaystyle �(�)=�\frac{�}{��}�({�}_1,\frac{�}{{�}_1}){|}_{{�}_1=�,{�}_1=�}}$

/

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Essa equação é chamada de equação de Callan-Symanzik^[3] e o campo vetorial ${\displaystyle �(�)}$ é chamado função beta da constante de acoplamento ${\displaystyle �}$.